2019/20
27009 - Ecuaciones diferenciales ordinarias
Obligatoria
1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura
Es importante la asistencia a clase y la participación activa. Se deben asimilar las explicaciones teórico-prácticas de la materia y realizar los problemas que se propongan. Es conveniente hacer uso de las horas de tutoría para resolver dudas y ampliar conocimientos. Se deben preparar con antelación las pruebas de evaluación y los exámenes obligatorios. Es necesario seguir diariamente el desarrollo de la asignatura y poder responder a cuestiones explicadas en las semanas inmediatamente anteriores.
Durante todo el curso, se utilizarán numerosos conceptos adquiridos en las asignaturas del primer curso, en particular, en Análisis Matemático I, Álgebra lineal y Números y conjuntos. En el segundo semestre se necesitarán algunos resultados del primer semestre de la asignatura Análisis Matemático II.
4.3. Programa
I.- Sistemas lineales con coeficientes constantes
1.- Ecuaciones lineales
Ecuaciones de orden 1
Ecuaciones de orden 2: solución de la ecuación homogénea
Ecuaciones de orden 2: solución de la ecuación no homogénea
2.- Sistemas lineales homogéneos: obtención de soluciones
Soluciones propias
Vectores propios generalizados
Aplicaciones
3.- Exponencial de una matriz
Convergencia de sucesiones de matrices
Exponencial de una matriz
Cálculo de la exponencial
Derivabilidad
4.- Sistemas lineales con coeficientes constantes
Solución del sistema homogéneo
Estructura de la solución
Solución del sistema no homogéneo
Ecuaciones de orden superior
Sistemas con impulsos instantáneos *
5.- Teoría cualitativa
Noción de estabilidad
Estabilidad y espectro
Diagrama de fases y clasificación de los sistemas bidimensionales
6.- Transformada de Laplace
Definición y primeras propiedades
Cálculo de transformadas
Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Estabilidad
II.- Sistemas lineales con coeficientes variables
7.- Ecuaciones lineales
Ecuaciones con coeficientes variables
Desigualdad de Grönwall
8.- Sistemas lineales
Sistemas homogéneos: existencia y unicidad de soluciones
Matriz resolvente
Solución del problema no homogéneo
Dependencia de parámetros
Ecuaciones de orden superior
Estabilidad *
9.- Sistemas lineales con coeficientes periódicos *
Soluciones periódica del sistema homogéneo
Estructura de la solución
Soluciones periódica del sistema homogéneo
Estabilidad y resonancia
III.- Sistemas no lineales
10.- Ecuaciones escalares autónomas
Ejemplos y primeras propiedades
Existencia y unicidad. Asíntotas
Análisis cualitativo
11.- Ecuaciones escalares no autónomas
Ecuaciones exactas
Factores integrantes
Otros métodos
12.- Existencia y unicidad de soluciones
Condición de Lipschitz
Existencia y unicidad: teorema de Picard
Prolongabilidad. Solución maximal
13.- Métodos numéricos para problemas de valor inicial
Métodos de Euler y de Taylor
Convergencia
Método de Runge-Kutta
Métodos multipaso *
14.- Regularidad de las soluciones
Dependencia continua
Dependencia diferenciable
La ecuación variacional
Trivialización *
15.- Teoría cualitativa
Sistemas autónomos
Caso escalar
Estabilidad de puntos de equilibrio: método de linealización
Estabilidad de puntos de equilibrio: funciones de Lyapunov *
Diagrama de fases de un sistema en el plano
* Estos temas se estudiarán si hay tiempo y el profesor lo estima oprtuno.